Recursos para estudar combinatória e probabilidade

Publicado em por Abrantes Araújo Silva Filho

Se você é como eu (e a maioria absoluta dos estudantes da área de exatas), deve considerar os problemas de análise combinatória e de probabilidade como alguns dos tipos de problemas mais difíceis de se resolver.

Essa dificuldade surge porque, apesar de utilizar operações matemáticas simples (adição, multiplicação, divisão, operação com conjuntos), a solução precisa de uma boa dose de pensamento, imaginação e engenhosidade. É realmente difícil pensar em como resolver um problema de combinatória mas, depois de encontrar o caminho correto, o cálculo da solução é relativamente simples.

Para nossa sorte existem excelentes materiais na internet para estudarmos o tema! Abaixo você encontrará uma lista para começar seus estudos, dividida por materiais de nível básico, intermediário e avançado. Obviamente essa divisão em níveis é imperfeita mas serve como uma orientação inicial.

Minha sugestão é de que você, mesmo se já conhecer um pocuo do assunto, comece novamente pelo nível básico e vá progredindo à medida em que conseguir resolver os exercícios dos livros e aulas com facilidade. Observação: faça os exercícios!

1. Nível “básico”

Sem dúvida nenhuma, uma das melhores introduções ao assunto de combinatória e probabilidade é a “Apostila n.º 2: Métodos de Contagem e Probabilidade” do Programa de Iniciação Científica Jr. da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP):

Clique na figura para baixar

Essa apostila foi escrita para alunos do ensino fundamental e, principalmente, do ensino médio mas, não por isso, deixou de lado o rigor matemático e a explicação detalhada dos tópicos. É realmente uma das melhores introduções ao tema que eu já vi.

O Portal do Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC) da OBMEP tem uma série de aulas baseadas nessa apostila! Estude a apostila e veja os vídeos:

Além dos vídeos acima, também recomendo que você assista aos vídeos do Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio (PAPMEM), do Institudo de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), que tratam do assunto. São mais de 40 vídeos que foram gravados entre 2001 e 2019, e estão listados a seguir. Obviamente você não precisa assistir todos os vídeos mas é interessante assistir a mais de um para aprender com diferentes professores e ter mais visões do mesmo assunto.

2. Nível “intermediário”

Talvez o melhor texto, em nível intermediário, a respeito de análise combinatória e probabilidade em português seja o “Análise Combinatória e Probabilidade“, de Augusto Cesar Morgado e outros autores:

Infelizmente esse livro está esgotado na loja da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), mas pode ser encontrado com relativa facilidade em sebos. Em breve uma nova edição estará disponível na loja da SBM.

O Portal da OBMEP no YouTube tem uma série completa e extensa (113 aulas, cada uma com mais ou menos 10-12 minutos) para o assunto:

O portal dos Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo (POTI), no YouTube, também disponibiliza uma série de vídeo-aulas a respeito de combinarória. As aulas têm entre uma hora e uma hora e meia de duração, com discussões excelentes:

O IMPA também disponibiliza na internet alguns vídeos do Programa de Aperfeiçoamento de Professores Olímpicos (PROLÍMPICO) a respeito do assunto:

3. Nível “avançado”

Aqui estamos falando de estudos avançados para graduação e pós-graduação em nível de mestrado ou doutorado.

Um dos melhores (e mais difíceis!) livros que eu conheço é o “Introduction to Probability“, de Bertsekas e Tsitsiklis:

Esse livro foi escrito por professores do MIT para ser utilizado como livro texto na graduação em engenharia/computação, bem como o mestrado e doutorado na área. Também é utilizado como o livro texto da disciplina de probabilidade do MicroMaster em Data Science do MIT. Em resumo: é um livro ótimo mas muito, muito difícil. É impossível entender bem o conteúdo discutido aqui se você não fizer os exercícios. Todos os exercícios. Várias vezes, até entender completamente cada exercício. Ficou claro? Faça os exercícios! E prepare-se para gastar vários dias e semanas de estudo para cada poucas páginas do livro.

Para um tratamento matemático mais rigoroso de combinatória, Antônio Neto escreveu o volume 4 da coleção “Tópicos de Matemática Elementar: Combinatória“, totalmente dedicado ao tema:

O IMPA também disponibilizou na internet alguns vídeos de disciplinas do mestrado e doutorado que podem ser úteis:

O MIT disponibiliza, através do MIT OpenCourseWare (MIT OCW) vários cursos de probabilidade online, gratuitamente, ministrados pelos próprios professores Bertsekas e Tsitsiklis, utilizando o livro acima como texto base. Vale a pena conhecer e conferir o nível de um curso do MIT!

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